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zoom RSS 10の1.5乗は、どのくらいの数か?

<<   作成日時 : 2018/03/30 09:49   >>

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●10の1.5乗は、どのくらいの数か?
・音楽のピタゴラス音律や平均律について調べていた時ですが・・・
やたらと指数や対数が登場します。
かなり昔に勉強したような気がするが、すっかり忘れてしまったなあ・・・ふぅ〜(ため息)
・平均律では、「ある数」を12乗すると2になり、音の周波数にその「ある数」を掛けるごとに半音上の音になり、12回でちょうどオクターブになる。その「ある数」とは?
答えは、2^1/12=1.0594・・・なのだが・・・
・ピタゴラス音律では、360度を12の音に見立てると、5度上の音は何度(何時間)進むか?答えは210度(7時間)進むのだが、その求め方がlog3/log2×360なのだそうだ・・・
・・・これは、指数とは?対数とは?の初歩から勉強し直さないと前に進まないな・・・と考えました。
そのときに、ふと、頭に浮かんだ疑問が「ところで10の1.5乗は一体いくつなんだろう?」です。

・10の2乗なら、100だとわかります。10の1乗は10そのままの数です。
でも指数に小数点が付くと、とたんに分からなくなる。
最低限分かることは、「10よりも大きく100よりも小さい数」というぐらい、さらに推測すると、「その中間あたりの50前後かな?」と、かなりアバウトな推測ですが。

・関数電卓に「 ^ 」マークのキーがあると計算できるらしいが、家の電卓はその機能が無かった。
幸い、スマホやパソコンの検索欄で簡単に計算できることが分かった。(ブラウザはスマホのGoogle、パソコンのGoogle ChromeとWindows10のEdgeで確認済)
10の1.5乗の計算なら、検索欄に「 10^1.5 」と入力するだけ。

●10の1乗から指数を0.1刻みで2.0乗まで計算してみた
以下は、10の1.1乗は、本来「1.1」と右上に小さく書くべきですが入力が大変なので「10^1.1」のように表記して、小数点以下3位未満は四捨五入で列記すると・・・
10^1.0 = 10
10^1.1 = 12.589
10^1.2 = 15.849
10^1.3 = 19.953
10^1.4 = 25.119
10^1.5 = 31.623
10^1.6 = 39.811
10^1.7 = 50.119
10^1.8 = 63.096
10^1.9 = 79.096
10^2.0 = 100
との計算結果だった。

●推測は見事にハズレ
10^1.5は50前後ぐらいかな?の推測は大ハズレだった。
10^1.5は「32」程度の数で、10^1.7が「50」程度の数だと分かった。
また、指数が0.1増えるごとに、1.259倍の数になることも判明、すると10×1.259^10=100ということか。(端数整理しているのでピッタリではないけど。)

●指数が1.0から1.7までの増加は緩やか
上の方の計算結果を見ると、指数が1.0から1.7までの増加は緩やかで、1.7から2.0までの間で急に増加するようだ。
つまり、7までの間隔は緩やかだが、続く3つの間隔で急激に増加する。

●じゃあ、指数が2.7も同じことがいえるか?
推測してみた、10^1.7が「50」程度の数になるのなら、10^2.7は「500」程度か?
10^2は100、10^3は1000だ。
上の例と同じように、10^2.7が「500」程度になるか、計算すると・・・
今度は推測が的中、10^2.7 = 501.187 だった。ちなみに、10^2.5 = 316.228だった。
これって、10^1.7とか10^1.5を単に10倍しただけのことだったんだ。

ということは、10^3も同じってことですよね。
10^3は1,000、10^4は10,000で、きっと10^3.7が中間の5,000程度ってことになりますね。
一応計算してみると、そうだと確認できました。
きっと、他の数値(X^n)についても、同じだと思われます。

●地震のマグニチュードも同じことが言える
上の方の計算で 「10^1.5 = 31.623」 ってのがありましたね。
端数を四捨五入して「32」ですね。

さて、地震のマグニチュードも、指数を使って表されています。
地震のエネルギーを E、マグニチュードを M とすると、
「 4.8+1.5M = log10E 」の関係になっています。
※補足: なお、指数と対数は同じ意味のことを、異なる表現で示したものと考えてOKとのこと。
指数だと「10^=E」と表現しますが、対数だと「log10E=n」の表現になります。


マグニチュードのMが1大きくなると、上の地震のエネルギーの式で、Mを1.5倍しているので左辺は1.5増える→つまり右辺も1.5増える=つまり log10Eも1.5 増加することになります。
10^1.5は32なので、地震のエネルギーであるEは32倍になります。
マグニチュードが1増えると、32倍のエネルギーになることになります。
たとえば、マグニチュード6とマグニチュード7とのマグニチュードの差はたった「1」ですが、実は地震のエネルギーは32倍の差があるということになります。

では、マグニチュードが2増えるとどうなるか?(32の2倍の64倍ではありません。)
Mが2大きくなるとその1.5倍の3増えることになり、10^3 = 1000 なので地震のエネルギーは1,000倍になる、マグニチュード6と8とでは1,000倍の差もあるということですね。
東日本大震災はマグニチュード9だったので、マグニチュード8の地震の32倍、マグニチュード7の1,000倍、マグニチュード6の32,000倍のエネルギーの差があるということになります。
ということは・・・マグニチュード4とか3程度の地震はめちゃくちゃ小さな地震だと推測できます。
東日本大震災のM9を基準にして考えると、M7は1000分の1の規模、M5はさらにその1000分の1、つまり百万分の1ですね。M3は10億分の1。M1なら1兆分の1の規模ということになります。

●いくつかの地震を比較すると
@関東大震災1923年 M7.9(推定)
A阪神淡路大震災1995年 M7.3
B新潟県中越地震2004年 M6.8
C東日本大震災2011年 M9.0
D熊本地震2016年 M7.0
ほかにも沢山発生していますが、いくつかをピックアップしました。
とりあえず、M7.0を「1.0倍」として比較した地震のエネルギの数値の倍率は、端数は4捨5入すると、@は22倍、Aは3倍、Bは2分の1、Cは1,000倍、Dは1倍ということになります。
マグニチュードの端数の小さな数値が地震のエネルギーの大きさにかなり影響していることが分かります。地震自体が怖い存在ですが、マグニチュードの端数も恐ろしいですね。
「マグニチュード4・5・6・7・8・9」という数字の表面だけ見ていると気付きにくいですが、その裏には数字のトリックがあって、何だかごまかされているような気がするのですが・・・

●なんとAKB48の選挙結果にも使える
AKBの総選挙の得票結果ですが、2017年の得票数を見ると・・・(端数をまとめています)
1位25万、2位15万、3位11万、4〜8位8〜5万、9〜22位4〜3万、23〜55位2万台、56〜80位1万台後半・・・という結果でした。
ここから言えることは、1〜3位までの方は飛びぬけて得票数が多く、8位まではある程度の差がわかるのですが、それ以下の9位から80位までは少しの差の中に大勢の方が詰まって競っているようです。
この結果を、生の数字で発表すると正確に分かるのですが、これをグラフにした場合は上位数名の方がグラフのかなり上の方に描かれ、続く数名が急激に下がって、その他ほとんどの方はグラフの極端に下の方でほとんど変化のない横一線の状態で描かれそうです。
こんなときに地震のマグニチュードのような手法を使って、下位の方の差が小さいデータを拡大して、逆に上位の差が大きいデータを圧縮する方法でグラフを描くと、下位の方の差もある程度分かるようにすることが出来ます。

●指数・対数を使った事例
・星の明るさの「等星」は、等級が小さい方が明るいのですが、1等級違うと2.512倍になるように定義されているので、1等星と6等星とでは2.512の5乗=100になるように設定されています。
・音の大きさのデシベル(db)は、基準量に対し何ケタ大きい数値かの桁数が「ベル(b)」で、ベルだと少し小さい数値なので10倍(d)したのがデシベル(db)です。
・音の高さの差は、周波数の比率が半音で2^1/12=1.0594・・・となり、1オクターブでちょうど2になるように設定されています。(この記事の冒頭に登場した数値です。)
・酸性・アルカリ性を示すpH(独:ペーハー)は、6〜8が中性、8超がアルカリ性、6未満が酸性ですが、この6とか7のpHは、「 pH=−log10aH+ 」 (aH+は自由に動ける水素イオン量)
・ほかにも身近なところで、色々な形で指数・対数を上手く使って表現されているものがあると思います。

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