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zoom RSS 九九が苦手なある地方の高度な計算方法

<<   作成日時 : 2018/04/02 16:46   >>

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●珍しい「指掛け算」
ヨーロッパのある地方の農民の特殊な掛け算の方法について、矢野健太郎氏の著書「数学物語」に、とても興味深い話が書かれていた。

●5より大きい数の九九が出来ない
「この地方の農民は、5までの九九は知っているが、5より大きい数の九九を知らない。」
「5より大きい数の掛け算をするときは、両手の指を使って計算する。」
ここまでの話なら、原始的な計算方法の紹介なのかなと、思いそうだが・・・
それが、複雑で、とても原始的とは思えない。煙に巻かれたような不思議な計算方法なんです。
ただし、10より大きい数の計算が出来ないのと時間がかかる点を除けばだが・・・

※補足: 本では触れていなかったが、足し算と引き算は出来き、10を超える数の掛け算は出来ないと推測される。
また、本には具体的な国と地域が書かれているが、本に書かれた当時から年数が経っており、現在もそうなのか確認できなかったので、具体名は伏せておきます。本には掛け算の名称の記載が無かったので、便宜上「指掛け算」と呼びました。

●具体的な「指掛け算」の計算方法
例えば「6×8」の計算方法を見てみましょう。
5より大きい数の九九を知らないため、日本のように「ロクハ48」とはいきなり答えが出ない。
そこで・・・左指は6を受け持ち、右手は8を受け持つ。
ただし、片手の指は5本しかないので、5を超える部分の数だけを使って計算する。
左手:6−5=1なので「1本」の指を折る。 立っている指は「4本」。
右手:8−5=3なので「3本」の指を折る。 立っている指は「2本」。
これで計算の準備が出来た。
@折った指を足し算する、「1+3=4」 これが10の位の数値。
A立っている指を掛け算をする、「4×2=8」 これが1の位の数値。
つまり、@とAをPPAPして(合体して) 「48」になる。 確かに合っている。

●なぜこうなるの?
なぜこのような複雑な操作をして、指掛け算が成立するのか?
しばらく考えてみましたが、私には理解できませんでした。
実生活に使おうとは思いませんが、でも、成立する理由を知りたい。

●その前に、「7×4」は?
5より大きい7と、5以下の4の掛け算の場合はどうやるのか?推測してみた。
5以下の数は指掛け算が出来ない。そこで・・・
@まず7を5以下の2つの数に分解する。例えば「4と3」とか「5と2」
A5以下に分解した数と4との掛け算は出来るので、4×4=16と3×4=12を足し算する。
16+12=28で、合っている。
推論だが、こうやって計算しているのでしょうか。

●さて肝心の「6×8」だが・・・
指掛け算で登場した
@折った指を足し算する、「1+3=4」 これが10の位の数値。 ・・・@式
A立っている指を掛け算をする、「4×2=8」 これが1の位の数値。 ・・・A式
これを一般式にすると・・・
@式の方は、((a−5)+(b−5))×10 = ((a+b)−10)×10 ・・・B式
A式の方は、(5−(a−5))×(5−(b−5)) = (10−a)×(10−b) ・・・C式
となる。

・10の位の方のB式について、
B式の ((a+b)−10)×10 だが、
「×10」は、10の位であることを意味している。
「−10」は、10を超えた数を求めることを意味している。
「(a+b)」は、ストレートにa×bの計算、つまり「a×bの四角形の面積を計算」するような方法ではなく、「a×10の四角形」と「b×10の四角形」を足し算している、(実際には×10の計算をせず)「a+b」の形にしてこれが10の位だと認識していることを意味する。
よって、B式が10の位の数を表していることが分かる。ただし、1の位からの繰上りがあるケースがあることに留意。

・1の位の方のC式について、
C式は、(10−a)×(10−b) だが、
「(10−a)」と「(10−b)」は、それぞれ10よりどれだけ小さいかを意味する。 
この2つの掛け算は、10の位より小さい数を求めることを意味する。
なお、「 5< a又はb ≦ 10 」なので、10から引き算すると必ず5より小さい数(最大値4)になるので、九九の掛け算が出来る。
このとき、「4×4」(16)と「4×3」(12)の場合だけ、10の位に1つ繰上りが生じる。それ以外の数の組み合わせの掛け算は9以下の数となり1の位に収まる。

●と、理解できたが・・・
以上は、私なりに理解したつもりだが、もっと簡単に理解できる方法があるかもしれない。
それにしても、指掛け算をする人たちが成立する理由を知っているとは考え難い。知っているなら九九を覚える方が楽のように思える。
想像すると・・・かってこの地方では大きな数を使う必要性が無く、その昔に頭のいい人がいて、指掛け算で計算できることを発見し、5より大きい数の計算が出来ない人達に指掛け算を教え、それが代々伝承されてきた・・・のかなあ?
それにしても、指が掛け算の計算機になるとは、驚きました。

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