ネット上で8÷2(2+2)=?で議論になっている

8÷2(2+2)=? 答わかります?とのニュース記事

つい先日、「8÷2(2+2)=? 答わかります?」とのニュース記事を見ました。
この問題の答えをめぐって、Twitter上では、「1」と「16」という人に二分されているそうです。


えっ~これが話題になるような問題なの?
と思いながら、記事を読んでいくと・・・


私は、最初は16じゃいけないの?と思っていましたが、考えてみると、「あれ~1とも16とも考えられる」次第に一体どっちなのかわからなくなってしまいました。

mathematics-2640219_1920.jpg

PEMDAS / BODMASって?
ニュース記事の解説では、
PEMDASのルールを適用すると「1」、
BODMASのルールを適用すると「16」と書かれていました。

数学は世界共通だと思っていたので、答えが変わってくる異なるルールが存在するなどとは思いませんでした。
どこの国でも誰が計算しても、答えは同じだと思っていました。

そこで、そもそも「PEMDAS」と「 BODMAS」が何なのかわからないので調べてみることに。

調べたところ、
  • P:parenthesesで括弧の意味
  • E:exponentsで指数の意味
  • M:multipicationで乗算の意味
  • D:divisionで除算の意味
  • A:additionnで加算の意味
  • S:subtractionで減算の意味
でした。

国によっては、括弧にB:brackets、指数にI:indicesやO:ordersを使うようですが、すぐ上のPやEと同じ意味で使われていました。
同じ意味なので以下は、「PEMDAS」の方で説明します。



計算の順序
四則演算の計算順序は
  • ① P:1番目に括弧内を計算する
  • ② E:2番目に指数を計算する
  • ③ M・D:3番目に乗算・除算を計算する(乗・除の優先順位は等しい、左から右に計算)
  • ④ A・S:最後に加算・減算を計算する(加・減の優先順位は等しい、左から右に計算)
  • となっていました。

    国により使用する単語は違っても、その意味は同じなので、どちらを使っても答えが変わるということはありえないということが分かりました。


    したがってニュース記事に書かれていた「PEMDAS」ルールと「 BODMAS」ルールとで答えが変わることはないはずです。
    複数のニュース記事が同じことを書いていたので、ニュース記事のもとになっている発信元の情報が誤っているようです。



    PEMDAS」も「 BODMAS」も本来は、「P・E・(MD)・(AS)」とか「 B・O・(DM)・(AS)」と理解すべきですが、
    世界の中には、(MD)=(DM)とは考えず、(M→D)と(D→M)は先に書かれた順に計算するものだと、誤解している人がいるようです。



    しかし「乗算・除算」の優劣はない(「加算・減算」も同様)ので、出てきた順に左から右側に計算するので、答えが変わることはありません。



    解釈の別れのポイント
    答えが違ってくるのは、PEMDAS か BODMASかには関係のない部分です。

    両者とも先に括弧の中を計算することには異論がないようです。
    「8÷2(2+2)=?」は「(2+2)」を1番目に計算するところまでは一致しています。

    分かれる点は、「8÷2」が先か、「2(2+2)」が先かの違いです。

    「8÷2」の部分は「÷」が分数表示されていません。
    「2(2+2)」の部分は「✕」が省略されています。


    実はここに大きな落とし穴があります。
    上の方に、計算順序があることを書きましたので、本来ならその順番が変わることはないはずなのですが・・・
    文字式に関して「✕」を省略した場合のルールが、存在するようです。

    なお、「✕」を省略するルールは「文字✕文字」or「数字✕文字」を想定しているのであって、
    「数字✕数字」のケースはそもそも想定外のことのようです。

    ※「2✕a」なら「2a」で問題はないですが、「2✕4」は「24」と書くと支障があります。
    ですから、「数字×数字」の場合は想定外になっています。

    ニュース記事には答えが書かれておらず、「正しい計算方法が気になる方は、数学が得意な人や数学の先生に、是非答えを聞いてみてください。」と書かれていました。
    このよう想定されていない問題は、聞いても人によって解釈が異なりますので、聞いてもムダだと思います。
    本来なら、ニュース記事中に調べた答えが書かれているべきところを、避けて逃げているようです。



    過去にも似た問題があった
    以前にもネット上で話題になった、同じような問題がありました。
    6÷2(1+2)=?」というものです。

    長い間議論されたにもかかわらず結局は、答えがどちらかはっきりせず、うやむやになっていたようです。
    そこで、当時の問題の数字を少し変えて、再びネット上に登場したようです。
    話題提供にうってつけの問題のようですね。



    ※過去の問題は、台湾のfacebookで出題されたものです。
    そのときの出題者の意図は「9」を正解としたかったようです。
    しかし、半数以上の人が「1」が正解と主張し、長い間SNSや掲示板で議論されたそうです。
    どうやら、結論が出なかったようですね。



    電卓の答えはあてになるか?
    通常の電卓では、「8÷2(2+2)=」の形では入力できません。
    この式を人間が電卓に入力できる形に解釈し、電卓は入力された内容をそのままあらかじめプログムされている方法で計算するだけです。

    例:
    「8 / 2✕(2+2)」と解釈し「8 ÷ 2 ✕ 4 =」と入力すると、答えは16
    「8✕(2+2) / 2」と解釈し「8 ✕ 4 ÷ 2 =」と入力しても、答えは16
    「8 / (2✕(2+2))」=「8 ÷ (2✕4)」と解釈し「8 ÷ 8 =」と入力すると、答えは1
    長い計算などは区切って入力しますが、四則演算に従い
    「8 ÷ 2 = ✕ 4 =」と入力すると、答えは16

    したがって、電卓の答えももってどちらが正しいかは、判定できません。


    計算式が入力できるソフトや電卓の答えはあてになるか?
    Googleやエクセルは計算式が入力できます。
    試してみました。

    問題の通り「8÷2(2+2)」とそのまま入力すると、16の答えが出ます。
    しかしここでも、問題の式をどのように解釈するかで変わってきます。
    「8 / 2*(2+2)」と解釈しそのまま入力すると、答えは16
    「8*(2+2) / 2」と解釈しそのまま入力しても、答えは16
    「8 / (2*(2+2))」と解釈しそのまま入力すると、答えは1

    多くのプログラミング言語は数学と同じ四則計算の優先順位になっているようですが、想定外の式が入力されたときにどのように解釈するかは、計算機や使用ソフトによって変わってくることがあります。

    ということは、Googleやエクセルにしても、それをどのようにプログラムに解釈させるかプログラミングした人の考え方で、答えを変えることが出来ることになります。




    中学2年で教える数学
    中学2年の数学「単項式の乗法・除法」を教えるようです。

    そこでは、次のように解釈するように教えているようです。
    平成26年度全国学力・学習調査の出題の具体例
    計算_2.PNG
    ※左側は問題式、真ん中は計算式、右側は答え。文字(a,x)は0ではない
    というものでした。

    そして「✕」が省略された部分は、一まとまりの式(単項式)と考えて計算するように教えています。

    「÷」の右側の、「4x」や「2a」や「5x」の単項式は、四則演算のルールの「乗・除の優先順位は等しいので左から右に計算」より優先して計算するということを教えていることになりますね。

    単純な式でいえば、
    ab÷ab=」なら、ほとんどの人は迷うことなく、「ab/(ab)=1」と考えますね。
    (文字(a,b)は0ではない)


    しかし、「ルール」より「教えている」方が優先するとの根拠がどこにあるのかが分かりません。
    学校で教えられていることと違うことを書くと、試験では「✕」になるのは言われなくても分かるので、そのようになっているのでしょうか。


    上の式をよく見てください、「÷」の右側は全て「数字✕文字」の形になっています。
    学校で教えているのは、すべてこの形です。
    ネット上で話題になった「8÷2(2+2)」が、「8÷2(a+b)」の形になっていたなら、日本ではその答えは中学2年生でも知っていると、断言できることになります。



    しかし、ネット上で話題になった「8÷2(2+2)」も「6÷2(1+2)」も「÷」の右側は「数式✕数式」の形になっている点が問題のようです。
    このような形は中学2年の数学で教えているわけではありません。
    つまり、「数式✕数式」で「✕」を省略するということは想定されていないということです。



    想定されていないということは、(うっかり見落としたのではなく)そのような式は現実に使うことがありえないと考えているともいえそうです。
    つまり極端な表現で言うと、このような式は美しくない式で、ゴミのような式といえます。



    したがって、学校の先生や数学者によっても解答が異なる結果が生じます。
    ネット上で複数の解答が出るのは、数式自体が適切ではないからです。




    ネット上で問題を出した人のねらい
    本来ならネット上で問題を出した人が、「8÷2(2+2)」の答えを「1」に導きたいのか「16」に導きたいのか意図があれば、数式の解釈が曖昧にならないようにすべきところなのですが・・・、
    それでは、話題になりません。

    話題になるように、わざとルールーに適合しない形で解釈が曖昧になるよう、話題受け(ネット映え)のための問題と思われます。
    この数式は、美しくありません。



    忠実に、四則演算の計算順序に従えば、8 / 2 ✕ 4 = 16であり
    掛け算記号の「☓」が省略されたひとかたまりの「単項式」と考えれば、8 / (2 ✕ 4) = 1となります。
    しかし、四則演算の計算順序で計算するのか、単項式のやり方で計算するのかという点が、明確に読み取れません。
    というか、わざとどちらにも解釈できるようにしている気がします。


    したがって、この問題に答えはありません。
    このたぐいの問題は、高校入試や大学入試で出題されることはないでしょう。
    答えを求めるなら、「÷」の次の「数式✕数式」の計算順をこの問題においてはどう取り扱うのかの定義が必要です。

    定義をしないなら、分数形式や括弧を利用して問題を作る必要があります。


    すぐ上で「学校の先生や数学者によっても解答が異なる結果が生じます」と書きましたが、
    数学者や物理学者などはどうなのかというと・・・

    ① 最初に(複雑か簡単かは別として)文字式があり、
    ② 次の段階で具体的な値である数が与えられ、
    ③ 実際に計算する過程では、ネット上に登場するような形になることはあっても、
    ④ 最初の文字式が頭に入っているので計算途中で迷うようなことはありえない
    のだと思います。

    最初にあるべき文字式抜きにしていきなり計算過程の数式が登場すると、
    いくら数学が得意な数学者や物理学者などでも、本来なら最初に与えられる文字式をどのような形で頭に思い浮かべるかで、異なる答えが出るのだと思います。



    高学年では「✕」や「÷」を使用しない
    ところで、計算順序とは別に、表記上のルールとして
    • ① a✕b → ab とし
    • ② b✕4✕b✕a → 4ab2 とし
    • ③ a÷21 → (分数で)a/21 とし
    • ④ 加算の「+」と減算の「-」は省かない、✕1は省く
    といった、表記上のルールがあるようです。

    ①の「ab」や②の「 4ab2」は単項式といって、「掛ける」は一かたまりとみなすよう学校(中2以上)で教えています。


    なお、「+」が入った式(掛け算と足し算が入った式)は多項式(-2は、+(-2)とみなせる)といい、「÷」は逆数の分数にして分数式といいます。


    どちらの意味にも取れるような曖昧な表現を避けるため、括弧を使ったり分数表記にしたりするとのことです。
    ネット上の問題式は、この部分を(わざと)無視していると言えそうです。



    蛇足ですが

    このことを小・中学校では、どのように教えているのか調べる過程で、驚いたことがありました。

    問題:「1個50円のおかしを3個かうと、代金はいくらか?」
    答えは150円でいいのですが、式が
    50✕3=150 なら◯で、
    3✕50=150 なら☓だそうです。
    正しい順序を理解させ書かせることが重要とのこと。
    当然のこと、✗をもらった子供の父兄からは苦情があったそうです。

    何だか、算数ではなく、国語の問題として捉えている気がしました。
    なおこのようなことは、国によって異なるらしく、
    日本では、50✕3=150で、
    欧米では、3✕50=150で、
    中国では、どちらもOK
    とのことでした。
    最近は、海外の子供達が日本の小学校に通うことも多くなりましたが、(その逆もありますが)果たして、このようなことに頭を使わせることに意義があるのか、疑問に思いました。
    また、四角形の面積を求める式が仮に「縦✕横」だとしても、どちらを縦・横と考えるかは、四角形の置き方やそれを取り囲んで多くの子供達が見た場合に、どちらが縦か横かなんてことは何の意味はないと思います。

    とても、「8÷2(2+2)=?」を検討するどころの話ではないようです。

    この記事へのコメント

    • てくてく

      8÷2(2+2)=?で議論になってるんですか
      数学習ったのは大昔なんで・・・^O^

      確かに、8÷2(2+2)とも、8÷2×(2+2)とも、とれれるんですが。
      でも、2(2+2)は、2×(2+2)ですが、2×2+2×2を、2×で括ったもので、2(2+2)は一つの数字(計算結果?)と思います。
      文字式で云えば、a×a+a×aを簡略にしてa(a+a)と表しただけ。
      ですから、8÷2(2+2)は、8÷2×(2+2)ではない思うんです。

      敢て云うならば、8÷2(2+2)は、8÷{2(2+2)}と表すべきでしょうか。
      そうせずに問題提起されたのは、話題作りなんですかねぇ。
      「正しい計算方法が気になる方は、数学が得意な人や数学の先生に、是非答えを聞いてみてください。」とふるのは、ナンセンスと思いますねぇ。
      以上、単細胞てくてくのコメントでした。
      2019年08月07日 19:30
    • わけい

      てくてくさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      そして一緒になって考えていただきありがとうございます。
      実は私は、考えましたが明確な答えを知らないのです。
      そしてついに、それは問題が悪いせいにしました。
      てくてくさんがおっしゃるように、「a×a+a×aを簡略にしてa(a+a)」なら、なぜaの2乗で括って2aの2乗にしないのだろうとか(「2×2+2×2」なら2の2乗が二つで2*2の2乗ですね)。
      a(b+c)という式が与えられた後に、a,b,cが全部2だったのなら、2(2+2)が出来上がりますが。
      初歩的なことなのにこの辺は世界的にルールが確立していないらしいようです。(不思議ですが、以外でした。)
      文字式を飛び越えていきなり「2(2+2)」のようなケースは、想定外としてルールが出来上がったようです。
      でも、てくてくさんが一緒になって考えていただいたことに感謝しています、うれしいです。(多分てくてくさんの考えが合っている気がするのですが、合ってますと断言する自信はありません。)
      おそらく、私もてくてくさんも数学の試験はもうないと思いますので、こんなことで悩まなくても大丈夫だと思いますが、もし、(子供や)孫から聞かれたときには、どうしましょうか?
      多分こんな、変な問題は出ないと思いますが。
      あっ、「この問題は変だ!」と気づくことが重要な点かも知れませんね。
      2019年08月07日 20:44
    • tor

      私は単純なので
      見た瞬間にこの数式はないだろうと…
      わけい様の解説を拝見して「なるほどな」と思いました。
      孫から尋ねられたらどう答えましょうかね。
      ルール無視?ルール違反!
      興味が持てるようになるかもしれないですね。
      2019年08月07日 21:22
    • わけい

      torさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      「見た瞬間にこの数式はない」なんて、torさんすごいですね。
      私のほうがもっと単純なので、一生懸命に考えてしまいました。
      苦労の割には、答えが一つにまとまらず、もやもや感が残りました。
      きっと、次の5年後ぐらいに、ちょっと変形版の問題がまたネット上に登場するかも知れませんが、そのときは不参加にします。
      2019年08月07日 21:57
    • リアルET

      こんばんは。このような式が存在するとして,私的には「1」以外は考えられないかなあ。2(2+2)を切り離すという発想はないです。まあ,数学の教師なら何というかわかりませんが。
      2019年08月07日 23:38
    • フラバーバ

      簡単そうで 考えると余計にわからなくなる
      数式ですね。なので 考えるのはもうやめました。
      2019年08月07日 23:39
    • 偽ストラト

      ナイス 参考になりました。!(^^)!
      2019年08月08日 12:13
    • わけい

      リアルETさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      リアルETさんのコメントを見て、記事中の「中学2年で教える数学」と「ネット上で問題を出した人のねらい」の部分を、補足の意味で書き直しました。
      文字式の場合に「✕」を省略した場合は、学校で教える方法が四則演算のルールと異なることになりますが、それが原因で世の中に混乱が生じないようです。
      しかし、数式だけの場合は、「✕」を補って解釈するかどうかで、計算の順番が変わります。
      2✕4は、✕省略すると24になり✕を補わないと正しい計算ができない。
      つまり2(2+2)は24と書けず2✕4と書きます。
      すると8÷2(2+2)は8÷2✕4と書くことになり、これを四則演算ルールの通り計算すると16になり、文字式のスタイルを意識して計算すると1にもなる。
      数学の教師がどう答えても決着がつかず、電卓やソフトでも入力の仕方で答えが変わる、現にGoogleやエクセルで8÷2(2+2)と入力すると16が返ってきます。
      リアルETさんのおっしゃるように1のようでもあり、16のようでもあります。
      そこで、やむなく私の答えは、問題の表示が悪いということにした次第です。
      2019年08月08日 13:47
    • わけい

      フラバーバさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      ものすごく簡単な式なのですが、わざと不親切な式にしてある気がします。
      なので、フラバーバさんがおっしゃるように考えないほうが良さそうです。
      このたぐいの問題は、数年後にはまた登場するかも知れませんが、そのときは、パスするつもりです。
      2019年08月08日 13:52
    • わけい

      偽ストラトさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      答えは別にして、今回の件ですっかり忘れていた数学の基本を勉強させていただきました。
      2019年08月08日 13:56
    • yasuhiko

      なるほど、面白い迷わせ問題があるもんですね。
      これは明らかに、「問題に問題あり」の典型だと
      思いますが、出題者は初めから全てを
      よく承知した上で、解釈の曖昧さを利用した
      出題をしてる訳ですから、これはなかなか賢い
      確信犯だとも思います。それに比べると、
      50×3はいいけど、3×50はダメなんていう
      教育関係者の頭の固さにはあきれてしまいますね。
      2019年08月08日 18:34
    • わけい

      yasuhikoさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      yasuhikoさんのコメントの最後の部分ですが、よくぞいってくださいました。
      憤慨したのは私だけかと思いましたが、同感していただきありがとうございます。
      こういうことを権威の有りそうな算数の教育者が真剣に考えた上で現状の算数の制度になっているそうで、驚きました。
      世界から取り残されないか心配になってきます。
      2019年08月08日 21:04
    • すずりん♪

      この問題を見た時何か違和感があり
      クイズ? ひっかけ問題?
      なんて首をひねりつつ出した答えは16でした。
      違和感の原因は、カッコ内が文字ではなかったこと
      もしくはかっこの前に×がなかったからなんですね。
      ひょっとして問題を出した人、真剣な議論を期待していたわけではなく、どんな反応があり、どんな風に議論が膨らんでいくか面白がってただけなのでしょうか。
      単純かつぼんやり頭では・・・???

      アインシュタインの話面白かったですが、考えているうち時が経ってしまいました。アインシュタインは宗教についても記しているんですねぇ。
      2019年08月08日 21:42
    • わけい

      すずりんさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      すずりんさんはすごいですね、見たときに違和感を感じるなんて!
      私は単に、こんな簡単な問題がなぜ話題に?だって16じゃん、他に何かあるの?なんて、単純に思ってしまいました。
      でも、調べる過程で、すっかり忘れていた(最初から知らなかったかも?)数学の基本のところを勉強させていただきました。
      アインシュタイン関係の話も読んでいただきありがとうございました。
      2019年08月09日 09:54
    • かかと

      この問題を見た時に、何やこれ、Xがないからできないやん。
      それでけです。あれやこれや悩みません。Xがないから1でも16でもないです。答えはありません。
      それより、50円のお菓子を3個の話に驚きました。
      四角形の縦、横の話も重要な問題と思いました。
      これからもよろしくお願いします。
      2019年08月09日 10:20
    • eko

      σ(゚ー^*)なるほど( ^^) _U~~

      ψ(`∇´)ψナイス!(^_-)-☆
      (気持玉の代わりです)
      2019年08月09日 18:18
    • わけい

      かかとさんへ
      なるほど、最初から✕がないから計算できないと割り切ってしまえば、悩まなくても良かったんですね。
      お菓子や縦横の計算の話、気にかけていただきありがとうございます。
      2019年08月09日 21:22
    • わけい

      ekoさんへ
      気持ち玉代わりのコメントを頂きどうもありがとうございます。
      2019年08月09日 21:23
    • ゆの

      わけい様
      おはようございます♪
      ネットで話題になっていたのですね
      知人が知っていました(驚
      私の計算は答え「1」の方でしたが

      関東と関西でも生活習慣もろもろ
      かなりの違いがあるので
      国外で個数、単価をどちらを先にするかとかの違い
      ほかにも常識の違いもあるのですね・・・

      数式を見て、学生時代
      担任が数学の教師だったにもかかわらず
      数学はかなり苦手だったのを思い出しました( ;∀;)

      2019年08月10日 09:44
    • わけい

      ゆのさんへ
      先程、知事選の期日前投票にいってきました。
      期日前投票は土日も昼休みもなく、連日関係者は大変そうな感じがしました。暑かったです。
      気が向いたときに早めに済ませておくと、気が楽になりますね。
      当日だと、(気が向こうが向くまいが、)義務的に今日行かなくちゃーと急かされるようで、落ち着きません。
      最近、数学関係の本を10冊ぐらい買いました。ほとんど読んでいませんが、学校で学ぶ数学と違っていて、面白いです。
      学校の数学を得意な人がいても、好きになる人はいないのではないかと思います。
      数学と科学の根本的な違いは、数学は一度証明されると完成で、それが変わることがないそうですが、科学は正しいと思われてもいつその理論がひっくり返されるかわからない点だそうです。
      なお、数学関係で読んだ中で「インド式計算法」では、世の中には目からウロコのような計算法があるんだなあと驚きました。もちろん答えは同じなのですが、発想の転換で計算の過程が楽なのです。残念なことは、読んで分かったつもりでも、翌日にはすっかり忘れていることです。
      2019年08月10日 14:51
    • すみれ

      う~ん、で迷いました~
      2(2+2)これは変だなぁ、と思いつつ
      答えは1と出しましたが・・・
      答えはありません、に納得です
      ちょっと面白かったです
      中学生に戻った気分でした~
      2019年08月10日 23:31
    • ゴンマック

      おはようございます。
      一瞬、答えは16と思いましたがよく考えると
      1かなとも思いました。数学は苦手で全く
      わかりませんが、わけいさんの説明は楽しかったです。
      2019年08月11日 07:35
    • わけい

      すみれさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      夏バテでご飯もケーキも食べられない方に、たちの悪い問題を考えていただきありがとうございます。
      先程まででかけていましたが、実に暑いですね。
      すみれさんの前回の記事で、ブラックベリーのことが書かれていましたが、その時点では我が家のブラックベリーはまだ一つも食べる状態ではありませんでした。でもその後、毎日大量に収穫でき、もううんざりして、収穫するのもやめました。1本の木なのですがすごいですね。
      今までジャムにしていましたが、種が気になっていまいちでした。ところが、昨日お隣の方からお礼を言われ、種をとってジャムにして美味しかったとのこと。どうやってとったのか教えていただいたら、味噌ときのアミを使う方法がネットに書かれていたとのこと。
      今年は、たくさん種入のジャムを食べましたが、来年は種無しジャムにチャレンジしたいと思います。
      ところで、「2(2+2)これは変だなぁ」と感じるところが鋭いですね!
      2019年08月11日 13:35
    • わけい

      ゴンマックさんへ
      コメントどうもありがとうございます。
      難しい数学のことは分かりませんが、このような簡単に見える数式にも案外奥が深いものがあるもんだと感じました。
      ついさっき見ていた本で、「マイナスとマイナスを掛けるとなぜプラスになるか?」それの証明方法が2,3書かれていました。
      私が知っている証明方法とは全く異なり、なるほどと思いました。
      こういう単純な問題が、意外と難しく面白いと感じました。
      2019年08月11日 13:50