A4の紙を半分にして重ねることを42回繰り返すと月まで届く

A4の紙を半分にし重ねること42回の繰り返しで、月まで届く
「A4のコピー用紙を半分に切って重ねることを繰り返すと、42回目には月まで届く。」
ということが、ある本に書かれていました。

その本のタイトルも記憶がないので、それらしきものを探しましたが、どこかにあるはずですが見つかりません。
ただ、その本をベッドで横になり読んでいて、そばにあった紙に計算し出した途中のメモを見つけました。
計算の途中でよく分からなくなり、そのままになっていたメモです。

その時に、もっと合理的な計算方法があるかもしてないと思いながら、目をつむって考えたのでいつのまにか寝てしましました。
その時のメモを見つけ、思い出しながらその続きを考えてみました。

A4のコピー用紙の厚さは一般的には0.08-0.1mmですが、ここでは1万円札と同じ0.1mmの厚さとします。
月までの距離は38万kmです。


すると計算式は・・・

 計算式は 0.1mm×242 ですね。

余談:月までの距離月までの距離は、38万kmとしましたが、
月の軌道が楕円形なので約35万km~約40万kmの範囲で変化します。
また、その距離は平均で毎年3.8cmずつ地球から遠ざかっています。
1km遠ざかるには単純計算で3万年以上かかります。

月が出来た時には地球からわずか2万4,000kmしか離れていませんでした。
それが45億年かかって現在の距離になっています。
すぐ目の前に大きく見える月は、現在のようにロマンチックな月の姿には見えなかったと推測されます。  

(かぐや姫やウサギはその頃に移住したのかもしれませんね。←これは冗談)

計算式の「0.1mm×242」 が 38万kmを超えると月まで届くこととなりますが、本当にそうなるでしょうか?

では計算してみましょう、といっても電卓で242 を計算できないですね。
なんてったって桁数が足りません。
試しに12桁の電卓で計算すると、237までしか計算できませんでした。
PCだと、計算結果が4.3980465e+12となりました。これどういう意味?エラー?

earth-1365995_1920.jpg
あそこに見えるのが、月だけど・・・


電卓を使わずに計算
電卓で計算すると桁数が足りないのに、どうやって計算するの?
そこで、今回は、電卓に頼らないでも計算できる方法を考えてみました。
ちょっとした工夫をすることで、暗算でおおむね計算できました。

では、その方法を紹介します。

①計算式が242なので、これは二進法の計算と同じですね。
28 = 1バイト = 256 と暗記しているので、これを2倍すると512、さらに2倍すると1,024 です。
210 = 1,024 と結びつけるところが計算を楽にするポイント1です。
ここまでは電卓なしで出来ました。

※28=256 と暗記していなくても、「2、4、8、16、32、64、128、256」とこれなら何とか暗算でも出来そうです。
さらに、続けると「512、1024」となりますね。
ただ頭の中だけだと、途中からは分かりにくくなるので、ちょこっとした紙切れにメモるとやりやすいです。

②次に
計算を楽にするポイント2は、 210 = 1,024 をとりあえず1,000 とみなすことです。
これで、ずいぶん計算が楽になります。

少な目にみなしたのですから、これで計算して38万km を超えていれば問題ないはずですね。
必要があれば後で、正しい数値に補正すればいいですね。
補正は、1024 を1,000 とみなした回数分だけ1.024 倍するということになります。

さて、月までの距離の38万kmですが、これは = 380,000km = 380Mmと同じことですね。

③つぎに、
ポイント3ですが、紙の厚さを1mmとして計算して、後で1/10しても同じことですね。

これだと、1mmから計算をスタートできます。
ほんのこれだけでも、計算は楽になります。

1mm(ミリメートル)の1,000倍は1m(メートル)、その1,000倍はkm(キロメートル)、その1,000倍はMm(メガメートル)、その1,000倍はGm(ギガメートル)ですね。
ここで、ポイント2で1,024を1,000とみなしたことがそのまま生かせます。

242 は = 2(10+10+10+10+2) ですので
→ 最初の「210」に、さらに「210」を3回掛け、最後に「22」(=4)を掛ける
ということですね。

最初の「210 」は1mmの1,000倍で、1,000mm(ミリメートル) = 1m(メートル)です。
1回目の「210」さらに1,000倍は km(キロメートル)ですね。
2回目の「210」で Mm(メガメートル)
3回目の「210」で Gm(ギガメートル)

最後に4を掛けて 4Gm(ギガメートル)
と計算できました。

つまり、「242 = 4Gm(ギガメートル)」になりました。
ここまで、まったく電卓を使いませんでした。

④さてポイント3で紙の厚さを1mmとして計算しましたが、0.1mmでしたので1/10倍する必要があります。
4Gm(ギガメートル)を1/10すると → 400Mm(メガメートル)になりました。

少なめに計算した1042ですが、400Mm(メガメートル)となり 、月までの距離 380Mm(メガメートル)を軽く超えました。
40万km > 38万kmですから、月より遠い距離になりますね。


正確に計算
以上で月までの距離を超えたことが分かったのでこれで十分なのですが、少し気になるのが月が楕円軌道で一番遠い距離は約40万kmのぎりぎりという点です。

試しに約40万kmを超えるのかどうかを確かめてみましょう。

正確に計算するためには、ここまでの計算結果の400Mm(メガメートル)を補正しなくてはなりません。
補正するには、私には電卓が必要です。
1,024を1,000とみなした回数が4回ありますので、そこを補正してみましょう。
補正は1.024倍を4回繰り返します。

400 × 1.024 × 1.024 × 1.024 × 1.024 を電卓で計算してみます。

すると、439.80465・・・Mm(メガメートル = 1/10万km)となりました。

つまり、A4のコピー用紙を半分にして積み重ねることを42回繰り返すと・・・
正確な計算では、43万9,804.65km になります。

※あっ、この数字はPCで計算した「4.3980465e+12」と同じ数字の配列ですね。
最後の「+12」は桁数を意味しているのでしょうか?12桁だと1,000を4回掛けるということですね。
1,000×1,000×1,000×1,000で0が12個、m → km → Mm → Gmで、4.3980465Gmを1/10にした439.80465Mmとピッタリになりますね。

そういうことだったのですか。
でもとにかく、簡略化した暗算と補正とで最終的にPCで計算した数値と一致したことが確認できた、ということでもありますね。
ホッとしました。正直言って最後の桁まで一致するとは思ってもいませんでした。

電卓などでよく目にする「・・・・・e+〇〇」のエラーメッセージのようなものにこんな意味があることが分かり収穫もありました。
ここまで来て、違っていたらこの記事はボツとなるところでした。 

43.9万km以上あるので、月が楕円軌道で一番遠い距離をも超えていると言えるでしょう。


ところで、その大きさの方ですが・・・
A4を半分にすることを42回も繰り返すと、どうなるかですが・・・
A4サイズは、「210×297mm」です。

半分にするということは、長い辺と短い辺を交互に半分にする、ということになります。
ということは、それぞれの辺を21回半分にするということですね。

半分は1/2で、これを21回ですので、その計算式は・・・
(1/2)21ですが、1の方は何乗しても変化しません、変化するのは2の方だけです。

つまり、(1/2)21 = 1/(221)と考えると分かりやすくなります。

先程のポイント2を利用して
221 = 2(10+10+1) = 1,000×1,000×2 = 2Mとなります。

長い辺の方は「297mm/2M」です。
短い辺の方は「210mm/2M」です。

ところで、mmの下の方の単位は、1/1,000 するごとに
「mm(ミリメートル) → μm(マイクロメートル) → nm(ナノメートル)」
となります。

では長い方の辺だけを計算してみましょう。

297mm/2M = 297μm/2k = 297nm/2 = 148.5nm となります。

同様に短い辺を計算すると、105nm となります。

つまり、A4の紙を半分にすることを42回繰り返すということは
最終的には、「105×148.5nm」のサイズになるのですが、ナノメートルという単位はきっと顕微鏡でないと見えないですね。
ヒトの肉眼では見えなくても、ちゃんと月まで届いているのですね。

ちなみに小さいものというと、ウイルスが思い当たります。
ウイルスといっても大きさはさまざまですが・・・
小さいもので数十nm~大きいもので数百nmで、他の一般的な生物の細胞(数〜数十µm)の100〜1,000分の1程度の大きさ (ウィキペディア要約)
とのことです。

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この記事へのコメント

  • かかと

    こんにちわ。
    紙はどんなに大きくても半分に折るには
    7回までしか折れないと言うのを思い出しました。
    同じですね、面白いです。
    2019年10月06日 15:39
  • tor

    この話は知っていましたが
    まさか実際に計算されるとは
    驚きました。
    それも楕円軌道まで考慮されるとは
    さすがわけい様。
    2019年10月06日 18:21
  • わけい

    torさんへ
    コメントどうもありがとうございます。
    おそらくこういった問題は、少し何かを変えて色々なバージョンがあると思います。
    そこで私が、苦心したのは答えそのものではなく、計算方法です。
    計算機や特別な電卓などを使わずに、なぜそうなるのかということを楽に導き出すかという点です。
    折角なので、ついでに寄り道もしましたが、自分なりに簡易な方法を見つけた気がしました。
    これは、応用ができそうです。
    〇乗して1,000前後の数値になるものは、とりあえず1,000とみなして計算して、最後に電卓の力を借りて補正すればいいのでは、という点です。
    もしかして、2,000や3,000でも応用できるかもしれませんが、今は考えていません。
    torさんから頂いたフーコーの振り子やコリオリの力などよく分からない疑問が沢山控えていますので・・・。
    今一番考えているのは「政府の借金は、家庭や企業の借金とは根本的に異なる」というテーマです。
    これはノートもぶ厚くなり、整理できないままになっています。
    何とか日の目を見るようにまとめたいと思うのですが、分解する方法が思いつかず、そのままになっています。
    2019年10月06日 18:56
  • わけい

    かかとさんへ
    コメントどうもありがとうございます。
    申し訳ありませんが、「7回までしか折れない」話と「42回切る」話が、どう結びついて同じですね、となるのか、私には理解できないです。
    したがって、どのように解釈して返信コメントをしたらよいのか難しいです。現実の問題と理論上の問題とを取り違えると、話がすれ違いになりそうです。
    2019年10月06日 19:10