不思議な数 「142857」

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Karolina GrabowskaによるPixabayからの画像



1 「142857」の不思議

「142857」の何が不思議なの?って誰でも首をかしげると思います。

まずは、下を見てください。
・142857の1倍 ~ ① 142857
・142857の2倍 ~ ② 285714
・142857の3倍 ~ ③ 428571
・142857の4倍 ~ ④ 571428
・142857の5倍 ~ ⑤ 714285
・142857の6倍 ~ ⑥ 857142

この①~⑥の数字は、一見無関係のようですが、よ~く見ると、次のような関係になっています。
142857.png

すべて時計回りに・・・
① 142857は1からスタートした6桁の数 →
③ 428571は4からスタートした6桁の数 →
② 285714は2からスタートした6桁の数 →
⑥ 857142は8からスタートした6桁の数 →
④ 571428は5からスタートした6桁の数 →
⑤ 714285は7からスタートした6桁の数 →
(① 147857に戻る)
と、すべての数がつながって循環していますね。

すぐ上の表の、「①→③→②→⑥→④→⑤」の順は、あとで説明しますが、なぜこのようになるのかを知る重要なポイントです。



2 6倍の続きは?

6倍までは、項目1のようになっていますが、それではその続きの7倍、8倍・・・は?
と気になりますよね。

・142857の7倍 ~ ⑦ 999999になってしまいました。
その続きです・・・
・142857の8倍 ~ ⑧ 1142856
・142857の9倍 ~ ⑨ 1285713
・142857の10倍 ~ ⑩ 1428570
・142857の11倍 ~ ⑪ 1571427
・142857の12倍 ~ ⑫ 1714284
・142857の13倍 ~ ⑬ 1857141

⑧~⑬の数は、またまた無関係のようですが、上の①~⑥の数によく似ています。
左端と右端が異なるだけです。

実は、次のようになっています。
左端の1(1,000,000)を削除して、右端に1を加えると・・・
この操作はつまり、「- 1,000,000 + 1」=「- 999,999」ですので、⑦の999999を引いているのと同じですね。

そこで、上の表を書き直すと・・・
・142857の8倍 ~ ⑧ 1142856 - 999999 = ① 142857
・142857の9倍 ~ ⑨ 1285713 - 999999 = ② 285714
・142857の10倍 ~ ⑩ 1428570 - 999999 = ③ 428571
・142857の11倍 ~ ⑪ 1571427 - 999999 = ④ 571428
・142857の12倍 ~ ⑫ 1714284 - 999999 = ⑤ 714285
・142857の13倍 ~ ⑬ 1857141 - 999999 = ⑥ 857142
となり、1の項目の①~⑥までの数と同じになりました。

これは、①~⑥の数に「999999」を足せば、⑧~⑬の数になるということですね。
推測では、①~⑥の数に「999999」を2回足せば、142857を15倍~20倍したことになると思います。

同様に3回足せば、4回足せば・・・が成立しそうです。
さらに続けても、規則性はありそうですが、キリがないのでこの辺りでやめます。

なお、14倍ですが・・・
・142857の14倍 ~ ⑭ 1999998になりますが、
同様に「- 999999 」すると・・・
999999となり、⑦と同じになりました。

どうやら、7とか14(そして多分21や28)は7の倍数ですが、7に何かヒントがありそうですね。



3 「142857」はどこから来た数?

「142857」という数は、「1÷7」の計算で現れた数で、無限に規則的に続くのですが
1 ÷ 7 = 0.142857 142857 142857・・・と小数点以下の「142857」(=循環節)が無限に繰り返します(=循環数)。
ここから来た循環節の数(142857)だったんです。

電卓を使わずに、手計算でやると・・・
keisan.jpg
このような計算になります。

この計算過程で、余りが「1」になった時点で、最初の「1」に戻ったことになります。
これ以上、続けて計算する必要はないです。

1 ÷ 7の商は、「0.142857 142857 142857 ・・・」となり、小数点以下は「142857」の繰り返しになります。
※この場合は、循環節の最初と最後に「・」を付して、0.142857と書くと、「142857」が循環節でこれが無限に続く循環数だと分かります。

ここでオレンジ色の数字は、余りの数字ですが、
順に並べると「1→3→2→6→4→5(→1に戻る)」となっています。
この数の順は1の項目の最後に登場した「①→③→②→⑥→④→⑤」の順と同じものです。



4 「1→3→2→6→4→5」が意味するものは?
よ~く見てね! マウスホバーで瞳が大きくなります。

さて余りの数の「1→3→2→6→4→5(→1に戻る)」をよ~く見てください。
ポイント1 7未満の1、2、3、4、5、6の全ての数が登場しています。
例:「1 ÷ 3」だと余りは必ず「1」で、「2」の数は登場しません。

ポイント2 そして最後の余りが1で最初に戻っています。
最初に戻る=次は同じことを繰り返す=循環節になる。

ポイント3 1を割ると余りは必ず3になり、3を割ると余りは必ず2になり、・・・
(以下同様にある数を割ると余りは決まった数になる→したがって商は決まった数になる)

ポイント4 例えば3を割るということは1を3倍した数を割ることと同じこと
したがって、3を割るところからスタートすれば4倍した数(④ 571428)になりますし、2を割るところからスタートすれば2倍した数(② 285714)になります。

ポイント4をもう一度整理すると・・・
余りが「1→3→2→6→4→5」の順は、
商が「1→4→2→8→5→7」の順に対応していますので
1を割るからスタート → 142857の順になる
3を割るからスタート → 428571の順になる
2を割るからスタート → 285714の順になる
6を割るからスタート → 857142の順になる
4を割るからスタート → 571428の順になる
5を割るからスタート → 714285の順になる
ということだったんですね。


不思議な数 「142857」には、さらなる不思議があるのですが、かなり長くなりましたので、今回は以上にします。


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この記事へのコメント

  • ゆの

    わけい様
    おはようございます!!!
    不思議、不思議!?
    不思議な法則があるのですね
    インドの指を使った計算?も不思議ですが
    もしかしたら大昔、ピラミッドを作った先人たちは
    こういう数字のもつ不思議な法則を知っていたのかもしれない、と思ったりしました(^^)
    2020年11月17日 08:22
  • わけい

    ゆのさんへ
    コメントどうもありがとうございます。

    この記事は、数字が多くて長いので、読むこと自体が嫌になり、意味も解らない・・・という方が多いかなと思ってました。
    ゆのさんに「不思議」ってことが分かっていただければ嬉しいです。

    最初は、かなり数字の部分を省略して書きましたが、文が短くなりますが、意味がますます通じなくなるので、やむなくある程度詳細になってしまいました。

    文章も苦労しましたが、それ以上にイラストを作るのも苦労しました。

    書きかけの記事は多いのですが、イラスト作成が面倒なので、そのままになっています。
    手書きのイラストを写真に・・・の方法、これは最後の手段であり得ると思います。

    ゆのさんのお話のように、昔の人は、ネットどころか先人が残した記録が全くない状態ですので、すべて自分で「なぜこうなるんだろう?」「どうやったら〇〇ができるか?」などを、根気よく考えていたのだと思います。

    そういった人達の残してくれた「財産」のお陰で世界中で恩恵を受けています。
    この「世界中で恩恵を受け、消えて無くなることの無い財産」こそが、本当に価値のあるものなんだと思います。
    2020年11月17日 10:33